Konsep Operasi Pada Bilangan Cacah

2.1  KONSEP BILANGAN CACAH

Bilangan cacah didefinisikan sebagai  bilangan yang digunakan untuk menyatakan cacah anggota atau kardinalitas suatu himpunan. Jika suatu himpunan yang karena alasan tertentu tidak mempunyai anggota sama sekali, maka cacah anggota himpunan itu dinyatakan dengan “nol” dan dinyatakan dengan lambang “0”. Jika anggota dari suatu himpunan hanya terdiri atas satu anggota saja, maka cacah anggota himpunan tersebut adalah “satu” dan dinyatakan dengan lambang “0”. Demikian setersnya sehingga kita mengenal barisan bilangan asli pencacahan himpunan yang dinyatakan dengan lambang sebagai berikut : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, ....dst.

                        Bilangan-bilanagn 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...dst. merupakan bilangan-bilangan cacah. Adapun lambang bilangan cacah sering dituliskan sebagai “C” sehingga himpunan yang unsur-unsurnya semua bilangan cacah disebut himpunan bilangan cacah, yaitu C = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...dst.}. Dalam bahasa Ingris, bilangan cacah disebut, “Whole Number”, dengan lambang “N-0”.

2.2     OPERASI PADA BILANGAN CACAH

Ada beberapa operasi yang dapat diberlakukan pada bilangan-bilangan cacah. Operasi-operasi itu adalah :

a.       Operasi penjumlahan

Operasi penjumlahan pada bilangan cacah, pada dasarnya merupakan suatu aturan yang mengaitkan setiap bilangan cacah dengan suatu bilangan cacah yang lain.

Sistem bilangan cacah terhadap operasi penjumlahan ini mempunyai beberapa sifat, yaitu sebagai berikut :

1.      Sifat pertukaran

Untuk setiap bilangan cacah a dan b, berlaku : a + b = b + a.

2.      Sifat pengelompokkan

Untuk setiap bilangan cacah a,b dan c, berlaku : (a + b) + c = a + (b + c).

3.      Sifat identitas

Untuk setiap bilangan cacah a, berlaku : a + 0 = 0 + a = a.

b.      Operasi pengurangan

Operasi pengurangan sebenarnya merupakan kebalikan dari operasi penjumlahan. Jika dalam suatu situasi penjumlahan, jumlahnya dan salah satu unsur penjumlahannya sudah diketahui, maka proses penentuan unsur dalam penjumlahan yang lainnya menuntut operasi pengurangan. Oleh karena itu dalam praktiknya jika sebuah bilangan cacah a dikurangi dengan bilangan cacah b menghasilkan bilangan cacah c ditulis a – b = c (dengan catatan a lebih besar nilainya dari b), maka operasi penjumlahan yang terkait dengan itu adalah b + c = a.

Operasi pengurangan tidak memenuhi sifat pertukaran, sebab tidak untuk setiap a dan b akan berlaku a – b = b -  a. pengurangan a – b = b – a hanya akan dipenuhi oleh bilangan-bilangan yang sama, yakni a = b.

Operasi pengurangan juga tidak memenuhi sifat identitas, sebab kita dapat menentukan sembarang bilangan cacah a sehinga a – 0 ≠ 0 – a. Misalnya a = 2, maka 2 – 0 ≠ 0 – 2.

 Begitu juga operasi pengurangan juga tidak memenuhi sifat pengelompokkan. Sebab bisa diperoleh bilangan-bilangan cacah a,b dan c sehingga menghasilkan etidaksamaan (a - b) - c ≠ a - (b - c). Contohnya jika a = 8, b = 4, c = 2, maka nilai untuk pengurangan (a - b) - c =  (8 - 4) - 2 = 4 -2 = 2, sedangkan nilai untuk pengurangan 8 - (4 - 2)= 8 – 2 = 6. Sehingga jelas, 2 ≠ 6.

c.       Operasi perkalian

Operasi perkalian bilangan cacah dapat didefinisikan sebagai hasil penjumlahan berulang bilangan-bilangan cacah. Jika a dan b bilangan-bilangan cacah. Maka a x b dapat didefinisikan sebagai :

a x b = b + b + b + b +b +... + b

    sebanyak a kali

Oleh karena itu, 4 x 3 mengandung arti 3 + 3 + 3 + 3. Sedangkan 3 x 4 mengandung arti 4 + 4 + 4. Jadi secara konseptual a x b tidak sama dengan b x a, akan tetapi kalau au diliha hasilnya saja maka a x b = b x a. dengan demikian operasi perkalian memenuhi sifat pertukaran.

Operasi perkalian juga memenuhi sifat identitas. Hal ini dapat dilihat dari adanya sebuah bilangan cacah yang jika dikalikan dengan setiap bilangan cacah a maka hasilnya adalah tetap a. bilangan cacah tersebut adalah 1. Jadi, a x 1 = 1 x a, untuk setiap bilangan cacah a.

Operasi perkalian juga memenuhi sifat pengelompokkan, yaitu untuk setiap bilangan cacah a,b dan c berlaku : (a x b) x c = a x (b x c). Misalkan nilai a,b dan c berturut-turut adalah 1,2 dan 3, maka (1 x 2) x 3 = 2 x 3 = 6, dan untuk 1 x (2 x 3) = 1 x 6 =6.

Berkaitan dengan operasi penjumlahan, perkalian  ilangan cacah masih mempunyai satu sifat tertentu yang disebut sebagai sifat penyebaran (distributif). Sifat ini menyatakan untuk setiap bilangan cacah a,b dan c berlaku a x (b + c) = (a x b) + (a x c).

Sebagai contoh misalkan nilai a,b dan c berturut-turut adalah 2,3 dan 4. Maka berdasarkan sifat distributif ini, berlaku :

 A x (b + c) = (a x b) + (a x c)

 2 x (3 + 4) = (2 x 3) + (2 x 4)

 2 x 7 = 6 + 8

     14 = 14

d.      Operasi pembagian

Operasi pembagian merupakan kebalikan dari operasi perkalian. Jika sebuah bilangan cacah a dibagi bilangan cacah b menghasilkan bilangan cacah c (dilambangkan dengan a : b = c), maka konsep perkalian yang berkaitan dengan itu adalah b x c = a.

Analog dengan operasi perkalian merupakan penjumlahan berulang, maka operasi pembagian pun merupakan operasi pengurangan yang berulang. Misalkan kita ingin mengetahui hasil dari 10 dibagi 2, maka kita dapat memperoleh 10 : 1 dengan cara mengurangi 10 dengan 2 secara berulang seperti berikut :

10 : 2 = 10 - 2 - 2 - 2 - 2 – 2  (sampai tak bersisa atau nilainya nol)

                                     sebanyak 5 kali pengurangan

Dengan demikian, kita memperoleh hasil ahwa 10 : 2 = 5.

Sebagaimana dalam operasi pengurangan, dalam operasi pembagian juga tidak memenuhi sifat pertukaran, sifat identitas, sifat pengelompokkan, maupun sifat penyebaran.

A.           Kesimpulan

Bilangan cacah didefinisikan sebagai  bilangan yang digunakan untuk menyatakan cacah anggota atau kardinalitas suatu himpunan. Dalam Bahasa Inggris, Bilangan Cacah disebut “Whole Number”, dengan lambang “N-0”.  Bilangan Cacah dimulai dari angka 0,1,2,3,4,.....,dst. Adapula operasi-operasi dalam bilangan cacah, yaitu operasi penjumlahan, operasi pengurangan, operasi perkalian, dan operasi pembagian.

Dalam operasi penjumlahan dan perkalian terdapat 3(tiga) sifat yaitu, sifat pertukaran, sifat pengelompokkan, dan sifat identitas. Namun dalam operasi pengurangan dan pembagian tidak terdapat sifat tersebut.

B.            Saran

Bilangan penting bagi siswa-siswa sekolah dasar, karena itu pengantar bagi siswa untuk dapat mengerti dalam operasi-operasi bilangan. Oleh karena itu, para guru sekolah dasar harus lebih memperhatikan  para siswanya dalam belajar materi bilangan.